素数はどれくらいあるか — 素数定理と対数積分

2026-11-06 ・ 数学

数える関数

xx 以下の素数の個数を π(x)\pi(x) と書く。たとえば π(10)=4\pi(10) = 4(2, 3, 5, 7)、π(100)=25\pi(100) = 25、π(10000)=1229\pi(10000) = 1229 である。

素数は無限にあるが、大きな数ほどまばらになる。どのくらいの速さでまばらになるかを述べるのが、素数定理である。

素数定理

素数定理は、x→∞x \to \infty のとき

π(x)∼xlog⁡x\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}

が成り立つ、という主張である。ここで f∼gf \sim g は f(x)/g(x)→1f(x)/g(x) \to 1 を意味し、log⁡\log は自然対数である。1896 年に Hadamard と de la Vallée Poussin がそれぞれ独立に証明した。

言い換えると、xx の近くの数が素数である「確率」はおよそ 1/log⁡x1/\log x である。

よりよい近似

この「確率」を足し上げると、対数積分

Li⁡(x)=∫2xdtlog⁡t\operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\log t}

が得られる。Li⁡(x)\operatorname{Li}(x) も π(x)\pi(x) に漸近するが、近似としては x/log⁡xx/\log x よりずっとよい。下の図で、xx の上限を動かして比べられる。

xx π(x)\pi(x) x/log⁡xx/\log x Li⁡(x)\operatorname{Li}(x)
10000 1229 1085.7 1245.1
20000 2262 2019.5 2287.6
図 1. π(x) と二つの近似。スライダーで横軸の上限を変えられる(値は計算した表)。

まだ分かっていないこと

誤差 π(x)−Li⁡(x)\pi(x) - \operatorname{Li}(x) がどれくらい小さいかは、リーマン予想と結び付いている。リーマン予想が正しければ、

π(x)=Li⁡(x)+O ⁣(x log⁡x)\pi(x) = \operatorname{Li}(x) + O\!\left(\sqrt{x}\,\log x\right)

が成り立つ(von Koch, 1901)。

この記事は Nuncius の表示を確かめるための仮の記事である。

出典

  1. G. H. Hardy, E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press. 2008.
  2. Tom M. Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. Springer. 1976.